1. 什么是滤波？
滤波（Filtering）是信号处理中的一个重要概念，它的目的是 去除数据中的噪声，提取有用的信息。在很多应用场景中（如 传感器数据处理、室内定位、图像处理 等），原始数据通常会受到外部环境的干扰，导致数据波动较大，影响后续计算和分析。滤波技术能够减少这些误差，使数据更加平滑、稳定、精准。
1.1 滤波的作用
去除噪声：减少数据中的随机波动，使信号更加稳定。平滑数据：在轨迹计算、姿态估计等应用中，滤波可以消除突变点，使曲线更平滑。提高定位精度：在 GNSS、UWB、WiFi、蓝牙等定位系统中，滤波可以减少信号的干扰，提高定位准确性。优化传感器数据：如加速度计、陀螺仪的数据通常有噪声，滤波可以使数据更接近真实值。
2. 最简单的滤波：均值滤波
均值滤波（Mean Filtering）是最基础、最容易理解的滤波方法。
2.1 均值滤波的原理
它的基本思想是 取某个时间窗口（或区域）内的数据的平均值，然后用这个均值代替当前值，从而减少数据中的高频噪声，使数据更平滑。
数学表达式
其中：
N是窗口大小（如 3、5、7）。x(j) 是原始数据。y(i) 是滤波后的数据。
示例
假设有一组传感器数据： x=[10,12,14,50,16,15,14,13]
使用窗口大小 N=3 进行均值滤波：
未滤波数据（包含异常值 50）：10,12,14,50,16,15,14,13滤波后数据（50 被平滑）：11,12,25.33,26.66,27,15,14,13
优点
✅ 计算简单，适用于大多数数据平滑场景。 ✅ 在信号变化较平稳的环境下效果较好。
缺点
❌ 对突变噪声（如 50 这样的离群值）不够鲁棒，容易被极端值拉偏。 ❌ 会导致信号延迟，特别是窗口变大时，滤波后的数据可能滞后于真实值。
3. 解决极端值问题：中值滤波
中值滤波（Median Filtering）是一种 比均值滤波更鲁棒 的方法，特别适用于有突变噪声的情况。
3.1 中值滤波的原理
与均值滤波不同，中值滤波不计算均值，而是取窗口内数据的中位数，这样就能有效去除突变噪声。
数学表达式
其中：
median 表示 取中位数，即排序后的中间值。
示例
假设原始数据： x=[10,12,14,50,16,15,14,13]
使用窗口大小 N=3 进行中值滤波：
窗口滑动计算如下：
未滤波数据（包含异常值 50）：10,12,14,50,16,15,14,13中值滤波后数据（50 被替换成相邻的中位数）：10,12,14,16,16,15,14,13
优点
✅ 对突变噪声（如 50 这样的异常值）更鲁棒，不会像均值滤波一样被极端值影响。 ✅ 适用于非正态分布数据（即数据分布不均匀的情况）。
缺点
❌ 无法平滑随机噪声，如果噪声是高斯分布（均匀分布的噪声），均值滤波可能更合适。 ❌ 计算稍复杂，需要对窗口内数据排序。
4. 指数滤波（Exponential Filtering）
指数滤波（Exponential Filtering）是一种 加权的均值滤波，它的特点是 越新的数据权重越大，可以减少数据延迟的问题。
4.1 指数滤波的原理
在计算新数据点时，不是取简单平均，而是按照 指数衰减 赋予 新数据更高的权重：
其中：
α 是 平滑因子（0 < α < 1），决定了新旧数据的权重：
α 越大，新数据的影响越大，反应更灵敏。α 越小，平滑效果更明显，但数据更新较慢。 x(i) 是当前数据，y(i−1) 是上一时刻的滤波值。
示例
设原始数据： x=[10,12,14,50,16,15,14,13] 取 α=0.3：
y(1)=10
y(2)=0.3×12+0.7×10=10.6
y(3)=0.3×14+0.7×10.6=11.62
优点
✅ 不会产生明显的信号延迟，比均值滤波快。 ✅ 可以调整平滑因子 α\alphaα 来控制平滑程度。
缺点
❌ 对剧烈变化的数据仍然可能滞后，例如瞬间跳变的信号。
5. 高斯滤波（Gaussian Filtering）
高斯滤波（Gaussian Filtering）是一种 更加平滑的滤波方法，它对数据的影响是 基于高斯分布 进行加权的。
5.1 高斯滤波的原理
计算方式类似均值滤波，但加权方式不同，使用 高斯函数 进行加权：
类似于均值滤波和中值滤波，高斯滤波也使用 滑动窗口（通常为 3×3、5×5、7×7），但窗口内的数据加权不同。权重由高斯函数决定，而不是简单的均值计算。
5.2 计算高斯加权值
窗口内的值并不是等权相加，而是根据高斯函数计算权重。
例如，窗口大小 N=3，对应的 高斯权重矩阵（核） 可能是：
权重中心最大，远离中心的数值权重逐渐降低。
将窗口内的数据与对应的高斯权重矩阵相乘。计算所有数值的 加权平均，作为新的数据值。用计算出的新值替换窗口中心的原值。
5.3具体示例
我们使用相同的 窗口大小 3，原始数据：
x=[10,12,14,50,16,15,14,13]
第一步：选取窗口
例如在窗口 [10, 12, 14] 里，我们用高斯权重进行加权平均计算：
(10×0.06+12×0.098+14×0.06)/(0.06+0.098+0.06)
最终得到新的值 ≈12。
第二步：计算窗口内数据的高斯加权均值
对于包含 50 的窗口：
原始窗口：[12, 14, 50]高斯加权后： (12×0.06+14×0.098+50×0.06)/(0.06+0.098+0.06)=16.7
为什么高斯滤波比均值滤波好？
减少异常值的影响
均值滤波 直接计算均值，容易被极端值拉偏，如 50 导致均值 25.33。高斯滤波 给予中心点更高权重，使得 50 影响降低，最终数值只是 16.7，保留了更多的真实信息。 平滑效果更好
均值滤波 可能会导致数据突然变化，高斯滤波可以让数据平滑过渡，不会突变。 不会导致过度平滑
均值滤波 可能会导致细节信息丢失，而高斯滤波能够保留更多特征信息。
优点
✅ 效果比均值滤波更好，能去除高频噪声，同时保留信号的关键特征。 ✅ 适用于图像、轨迹数据的平滑处理。
缺点
❌ 计算量比均值滤波大，不适用于对实时性要求较高的系统。
代码实现：
# 1. 均值滤波（Mean Filter）
def mean_filter(signal, window_size=3):
return np.convolve(signal, np.ones(window_size)/window_size, mode='same')
# 2. 中值滤波（Median Filter）
def median_filter(signal, window_size=3):
return np.array([np.median(signal[max(0, i - window_size//2): min(len(signal), i + window_size//2 + 1)])
for i in range(len(signal))])
# 3. 指数滤波（Exponential Filter）
def exponential_filter(signal, alpha=0.3):
filtered = np.zeros_like(signal)
filtered[0] = signal[0] # 初始化第一个值
for i in range(1, len(signal)):
filtered[i] = alpha * signal[i] + (1 - alpha) * filtered[i - 1]
return filtered
# 4. 高斯滤波（Gaussian Filter）
def gaussian_filter(signal, sigma=1):
return gaussian_filter1d(signal, sigma)
6.四种方法优缺点